Question

（本題滿分16分）

已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，滿足恒成立的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè).

 

Answer 1

【答案】

(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123145492181820/SYS201205212317290156727809_DA.files/image001.png">  ，

所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，……2分

所以在點(diǎn)處的切線方程為， 4分

(2) 令<0，對(duì)恒成立，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123145492181820/SYS201205212317290156727809_DA.files/image008.png"> （*）

                       ………………………………………………………………6分

①當(dāng)時(shí)，有，即時(shí)，在（，+∞）上有，

此時(shí)在區(qū)間（，+∞）上是增函數(shù)，

并且在該區(qū)間上有∈，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，有，同理可知，在區(qū)間上，有∈，

也不合題意；                   …………………………………………… 8分                              

③當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，

從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

所以．                    ………………………………………11分

綜上可知的范圍是．          ………………………………………12分

   

(3)當(dāng)時(shí)，

記．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123145492181820/SYS201205212317290156727809_DA.files/image032.png">，所以在上為增函數(shù)，

所以，              ………………………………14分

設(shè), 則, 所以在區(qū)間上，

滿足恒成立的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)．      …………………16分

【解析】略