Question

【題目】如圖所示，四邊形為菱形，，二面角為直二面角，點是棱的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，當二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）設點是棱的中點，連接，根據面面垂直的性質定理，得到平面，進而得到，再由，結合線面垂直的判定定理，即可求解；

（Ⅱ）解法一：設點是與的交點，證得為二面角的平面角，結合解三角形的知識，即可求解；解法二：設點是與的交點，以所在直線為軸所在直線為軸，過點垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，可得平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.

（Ⅰ）如圖所示，設點是棱的中點，連接，

由及點是棱的中點，可得，

又二面角為直二面角，故平面，

又因為平面，所以，

又因為四邊形為菱形，所以，

而是的中位線，所以，可得，

又由，且平面，平面，

所以平面， 又因為平面，

所以．

（Ⅱ）解法一：設點是與的交點，

由（Ⅰ）可知平面，

又均在平面內，從而有，

故為二面角的平面角，

因為，所以為等邊三角形．

不妨設菱形的邊長為．

則在中，，

于是

在中，，

故，

整理得，．

因為平面，所以為直線與平面所成的角．

則，

所以直線與平面所成的角為.

解法二：設點是與的交點，

以所在直線為軸所在直線為軸，

過點垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標系．

設，則，，

則，

設平面的法向量為，

則，即，

取，得的一個法向量為，

則，解得，

則，，

則，

則直線與平面所成的角為．