Question

19.如圖，曲線(xiàn)G的方程為y²=2x（y≥0）.以原點(diǎn)為圓心，以t（t ＞0）為半徑的圓分別與曲線(xiàn)G和y軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B.直線(xiàn)AB與x軸相交于點(diǎn)C.

（Ⅰ）求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式；

（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)G上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a＋2，求證：直線(xiàn)CD的斜率為定值.

Answer 1

本小題綜合考查平面解析幾何知識(shí)，主要涉及平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間距離公式、直線(xiàn)的方程與斜率、拋物線(xiàn)上的點(diǎn)與曲線(xiàn)方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力與思維能力，綜合分析問(wèn)題的能力。

解：（Ⅰ）由題意知，。

因?yàn)閨OA|=t,所以a²+2a=t².

由于t＞0,故有　　（1）

由點(diǎn)B(0,t),C(c,0)的坐標(biāo)知，直線(xiàn)BC的方程為

。

又因點(diǎn)A在直線(xiàn)BC上，故有

，

將（1）代入上式，得

，

解得。

（Ⅱ）因?yàn)?SUB>，所以直線(xiàn)CD的斜率為

，

所以直線(xiàn)CD的斜率為定值。