Question

18．求函數(shù)y=$\frac{1+\frac{x}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}}$（x≤-1）的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的解析式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極限值，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)y=$\frac{1+\frac{x}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}}$（x≤-1）
∴y′=$\frac{-3x}{4（{x}^{2}+x+1）\sqrt{{x}^{2}+x+1}}$（x≤-1），
由y′＞0恒成立，故函數(shù)y=$\frac{1+\frac{x}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}}$（x≤-1）為增函數(shù)，
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最大值$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x→-∞時(shí)，函數(shù)值y→-$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)y=$\frac{1+\frac{x}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}}$（x≤-1）的值域?yàn)椋?$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值域，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極限，綜合性強(qiáng)，理解困難，屬于難題．