Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：以為直徑的圓與直線恒相切.

Answer 1

【答案】（1），離心率為；（2）見解析

【解析】

（1）由題得關(guān)于的方程組，解之即得橢圓的方程和離心率；（2）由題意可設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出 ，；再對(duì)分類討論得當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線恒相切.

（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為，；由題意知，

解得，，所以橢圓的方程為，離心率為；

（2）證明：由題意可設(shè)直線的方程為，

則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為；

由，得；

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，；

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

此時(shí)以為直徑的圓與直線相切；

當(dāng)時(shí)，則直線的斜率為，所以直線的方程為，

點(diǎn)到直線的距離為；

又因?yàn)?/span>，所以，故以為直徑的圓與直線相切；

綜上，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線恒相切.