Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程;

（2）求的取值范圍；

（3）若直線不過(guò)點(diǎn)，求證：直線與軸圍成一個(gè)等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

(1) （2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：(1)由已知橢圓焦點(diǎn)在軸上可設(shè)橢圓的方程為，（）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314582987083821/SYS201301131459390740923034_DA.files/image006.png">，所以，                                   ①

又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，                         ②

聯(lián)立①②解得，故橢圓方程為.                         ……4分

 (2)將代入并整理得，

因?yàn)橹本�與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以，解得.                         ……8分

（3）設(shè)直線的斜率分別為和，只要證明即可.

設(shè)，，

則.

所以

所以，所以直線與軸圍成一個(gè)等腰三角形.                  ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，橢圓中基本量的計(jì)算和直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力、推理論證能力和運(yùn)算能力.

點(diǎn)評(píng)：縱觀歷年高考，橢圓是一個(gè)高頻考點(diǎn)，題型有選擇題和填空題，難度不大，但解答題是壓軸題，難度較大，所以在學(xué)習(xí)中，同學(xué)們一方面要掌握好橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，另外還要多歸納這些知識(shí)的使用方法和應(yīng)用技巧，做到心中有數(shù)，從容應(yīng)對(duì).