Question

如圖，在半徑為3m的

1

4

圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A、C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），設(shè)矩形的邊長AB=xm，圓柱的體積為Vm³．
（1）寫出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子體積V最大？最大體積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA=

9-x2

，設(shè)圓柱底面半徑為r，則

9-x2

=2πr，即可得出r．利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出．
（2）利用導(dǎo)數(shù)V′，得出其單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）連接OB，在Rt△OAB中，∵AB=x，∴OA=

9-x2

，
設(shè)圓柱底面半徑為r，則

9-x2

=2πr，
即4π²r²=9-x²，
∴V=πr²•x=

9x-x3

4π

，其中0＜x＜3．…（6分）
（2）由V′=

9-3x2

4π

=0及0＜x＜3，得x=

3

，…（8分）
列表如下：

x	（0， 3 ）	3	（ 3 ，3）
V′	+	0	-
V		極大值 3 3 2π

…（10分）
所以當(dāng)x=

3

時(shí)，V有極大值，也是最大值為

3 3

2π

．…（14分）
答：當(dāng)x為

3

m時(shí)，做出的圓柱形罐子體積最大，最大體積是

3 3

2π

m³．…（16分）

點(diǎn)評：熟練掌握勾股定理、圓柱的體積計(jì)算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等是解題的關(guān)鍵．