Question

如圖，四棱錐中，底面ABCD是菱形，SA=SD=，，且S-AD-B大小為120°，∠DAB=60°．
（1）求異面直線SA與BD所成角的正切值；
（2）求證：二面角A-SD-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AO∥BD交CD的延長線于點O，連接BO交AD于點E，再連接OS，可得∠SAO是異面直線SA與所成的角．再利用解三角形的有關(guān)知識得到SE=6，OE=BE=3，在△SEO中由余弦定理可得：，然后在△SOA中由長度關(guān)系得到SO⊥OA，進而求出線面角的正切值．
（2）在△SOE中由長度關(guān)系得到SO⊥OE，又SO⊥OA，可得SO⊥平面ABCD，所以平面SOC⊥平面ABCD，過A作AF⊥OD，得到AF⊥平面SOD，作AN⊥SD，并且交SD與點N，連FN，由三垂線定理可得：FN⊥SD，根據(jù)二面角的平面角的定義可得：∠FNA為二面角A-SD-O的平面角，進而利用解三角形的有關(guān)知識求出二面角的平面角．
解答：解：（1）過A作AO∥BD交CD的延長線于點O，連接BO交AD于點E，再連接OS，
∴∠SAO是異面直線SA與所成的角．…（2分）
∵OABD是平行四邊形，∴E是AD的中點．
∵SA=SD=，∴SE⊥AD，
又∵底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，
∴BE⊥AD，
∴∠SEB是二面角S-AD-B的平面角，即∠SEB=120°，
∴∠SEO=60°．…（4分）
∵SA=SD=，，
∴SE=6，OE=BE=3，
∴在△SEO中由余弦定理可得：．
在△SOA中，，
∴tan∠SAO=；…（6分）
所以異面直線SA與BD所成角的正切值為．
（2）在△SOE中，
由（1）可得：在△SOA中，SO⊥OA，
∴SO⊥平面ABCD，SO?平面SOC
故平面SOC⊥平面ABCD，…（8分）
過A作AF⊥OD，

∴AF⊥平面SOD，
作AN⊥SD，并且交SD與點N，連FN，
∴由三垂線定理可得：FN⊥SD，
∴根據(jù)二面角的平面角的定義可得：∠FNA為二面角A-SD-O的平面角…（10分）
由題意可得：AF=ADsin60°=3，
在△SAD中根據(jù)等面積可得：，即，
所以，
所以sin∠FNA==．
故二面角A-SD-C的大小為．…（12分）
點評：本題主要考查空間中的二面角的平面角與線面角，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，其步驟是：首先是結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確的作出空間角，再證明此角是所求角，然后利用解三角形的有關(guān)知識求出空間角，也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標系利用向量的有關(guān)知識解決空間角等問題．