已知函數(shù)
的圖象是自原點出發(fā)的一條折線．當(dāng)
時，該圖象是斜率為
的線段（其中正常數(shù)
），設(shè)數(shù)列
由
定義． 求：
求
和
的表達式；
求
的表達式，并寫出其定義域；
證明：的圖像與
的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點．
【小題1】依題意
，又由
，當(dāng)
時，函數(shù)
的圖象是斜率為
的線段，故由
得
又由
，當(dāng)
時，函數(shù)的圖象是斜率為
的線段，故由
，即
得
記
由函數(shù)的圖象中第
段線段的斜率為
，故得
又
∴
由此知數(shù)列
為等比數(shù)列，其首項為1，公比為
因
，得
即
【小題2】當(dāng)時，從（1）可知
，即當(dāng)
時，
當(dāng)
時，即當(dāng)
時，由（1）可知
為求函數(shù)
的定義域，須對
進行討論．
當(dāng)
時，
時，
，
也趨向于無窮大．
綜上，當(dāng)時，的定義域為
當(dāng)時，的定義域為
【小題3】證法1 首先證明當(dāng)
時，恒有
成立．
對任意的
，存在使
，此時有
又
即有成立．
其次，當(dāng)
，仿上述證明，可知當(dāng)
時，恒有
成立．
故函數(shù)的圖象與的圖象沒有橫會標(biāo)大于1的交點．
本題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識，考查歸納、推理和綜合的能力．
【小題1】由斜率分式求出，同樣由斜率公式求出關(guān)于的遞推式，然后求出，
【小題2】由點斜式求出
段的的表達式，用極限的方法求出定義域．
【小題3】與沒有交點，只要
時
，或
時
恒成立，當(dāng)，由于
，只要證
科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題
（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
的圖象是曲線C，點
是曲線C上的一系列點，
曲線C在點
處的切線與y軸交于點
。若數(shù)列
是公差為2的等差
數(shù)列，且
（1）分別求出數(shù)列
與數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，
表示
的面積，求數(shù)列
的前項n和
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)組合、排列與組合的綜合問題專項訓(xùn)練（河北） 題型：解答題
已知函數(shù)
的圖象經(jīng)過原點，
若
在
取得極大值2。
（1）求函數(shù)
的解析式；
（2）若對任意的
，求
的最大值。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年黑龍江省高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文） 題型：解答題
（本小題滿分10分）已知函數(shù)
的圖象過原點，且
在
、
處取得極值．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）若函數(shù)
與
的圖象有且僅有一個公共點，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣東省云浮中學(xué)2011-2012學(xué)年高三第一次模擬考試（數(shù)學(xué)文科） 題型：解答題
已知函數(shù)
的圖象是曲線C，點
是曲線C上的一系列點，曲線C在點
處的切線與y軸交于點
。若數(shù)列
是公差為2的等差數(shù)列，且
（1）分別求出數(shù)列
與數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，
表示
的面積，求數(shù)列
的前項n和
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