Question

設數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n與a_n的關系是S_n=-a_n+1-

1

2n

，n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{2ⁿa_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）求數(shù)列{S_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出2nan-2n-1an-1=

1

2

，由此能求出an=

n

2n+1

．
（2）由（1）得Sn=1-

n+2

2n+1

，從而得到T_n=n-（

3

22

+

4

23

+…+

n+2

2n+1

），由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{S_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）當n=1時，s1=-a1+1-

1

2

⇒a1=

1

4

…（1分），
n≥2時，由Sn-Sn-1=-an+an-1+

1

2n

，
得2nan-2n-1an-1=

1

2

，
∴數(shù)列{2ⁿa_n}為等差數(shù)列，…（3分）
∴2nan=2×a1+(n-1)×

1

2

，an=

n

2n+1

．…（6分）
（2）由（1）得Sn=1-

n+2

2n+1

，
∴T_n=n-（

3

22

+

4

23

+…+

n+2

2n+1

），①

1

2

Tn=

1

2

n-（

3

23

+

4

24

+…+

n+2

2n+2

），②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

n-（

3

4

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+2

2n+2

）
=

1

2

n-

3

4

-

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

+

n+2

2n+2

=

1

2

n-1+

1

2n+1

+

2n+4

2n+1

．…（9分）
∴T_n=n-2+

2n+5

2n

．…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．