Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a}_{n}+n，n為奇數(shù)}\\{{a}_{n}-3n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（1）證明：數(shù)列{a_2n-$\frac{3}{2}$}是等比數(shù)列；     
（2）求a_2n及a_2n-1．

Answer 1

分析 （1）設(shè)${b_n}={a_{2n}}-\frac{3}{2}$，可求得${b_1}={a_2}-\frac{3}{2}=（{\frac{1}{3}{a_1}+1}）-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}$，由已知可求得$\frac{_{n+1}}{_{n}}=\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n}-\frac{1}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$，于是可證數(shù)列$\left\{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}\right\}$是以$-\frac{1}{6}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）的${b_n}={a_{2n}}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}=-\frac{1}{2}•{（\frac{1}{3}）^n}$，可求得a_2n及a_2n-1．

解答 （1）證明：設(shè)${b_n}={a_{2n}}-\frac{3}{2}$，則${b_1}={a_2}-\frac{3}{2}=（{\frac{1}{3}{a_1}+1}）-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}$，
因為$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2（n+1）}}-\frac{3}{2}}}{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}}=\frac{{\frac{1}{3}{a_{2n+1}}+（2n+1）-\frac{3}{2}}}{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}}=\frac{{\frac{1}{3}（{a_{2n}}-6n）+（2n+1）-\frac{3}{2}}}{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}}=\frac{{\frac{1}{3}{a_{2n}}-\frac{1}{2}}}{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}}=\frac{1}{3}$，
所以數(shù)列$\left\{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}\right\}$是以$-\frac{1}{6}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列．----------（6分）
（2）解：由（1）的${b_n}={a_{2n}}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}=-\frac{1}{2}•{（\frac{1}{3}）^n}$，即${a_{2n}}=-\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{3}}）^n}+\frac{3}{2}$．
由${a_{2n}}=\frac{1}{3}{a_{2n-1}}+（2n-1）$得${a_{2n-1}}=3{a_{2n}}-3（2n-1）=-\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}-6n+\frac{15}{2}$．--------（12分）

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查等比關(guān)系的確定及其通項公式的運用，考查推理與運算能力，屬于中檔題．