Question

已知，函數(shù).

（1）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為，若與圓相切，

求的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；  （3）求函數(shù)在[0，1]上的最小值。

Answer 1

（1）

（2）的增區(qū)間為，減區(qū)間是

（3）當(dāng)時(shí)，為最小值為

當(dāng)時(shí)，的最小值為

解析:

（1）依題意有，（1分）

過點(diǎn)的直線斜率為，所以過點(diǎn)的直線方程為（2分）

又已知圓的圓心為，半徑為1

∴ ，解得（3分）

（2）

當(dāng)時(shí)，（5分）

令，解得，令，解得

所以的增區(qū)間為，減區(qū)間是（7分）

（3）當(dāng)，即時(shí)，在[0，1]上是減函數(shù)

所以的最小值為（9分）

當(dāng)即時(shí)

在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)

所以需要比較和兩個(gè)值的大小（11分）

因?yàn)?img width=104 height=33 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/155/139955.gif" >，所以

∴ 當(dāng)時(shí)最小值為，當(dāng)時(shí)，最小值為（12分）

當(dāng)，即時(shí)，在[0，1]上是增函數(shù)

所以最小值為.

綜上，當(dāng)時(shí)，為最小值為

當(dāng)時(shí)，的最小值為（14分）