Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)，若，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)： ，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變化分類討論：當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?/span>，結(jié)合（1）結(jié)論得： ，因此， ， ,由于，所以恒成立，解， 得的取值范圍.

試題解析：解：(1)由題得，所以.

當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減.

(2) ， ，

設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由，可知在區(qū)間上不單調(diào)，則在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).

由(1)知，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，所以，

此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

因此， ， ，必有， .

由，得， .

又， ，解得.