Question

 

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)F. 設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F，且橢圓C上的點(diǎn)到F的最大距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)（m，n）是橢圓C上的任意一點(diǎn)，圓O：與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn)，試分別判斷圓O與直線l₁：mx+ny=1和l₂：mx+ny=4的位置關(guān)系.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）, …1分

解得.   ……………………………………3分

設(shè)橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2b，2c，

則由題設(shè)，知 于是a=2，b²=1.    ………………………………5分

所以橢圓C的方程為   …………………………………………6分

（2）因?yàn)閳AO：與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn)，

所以，即            …………………………………8分

因?yàn)辄c(diǎn)（m，n）是橢圓上的點(diǎn)，所以.

所以.     ………………………………………10分

于是圓心O到直線l₁的距離，……………………………12分

圓心O到直線l₂的距離.      ……………………………13分

故直線l₁與圓O相交，直線l₂與圓O相離.……………………………………14分