Question

【題目】已知函數(shù)（），其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性及極值；

（2）若不等式在內(nèi)恒成立，求證： .

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得導(dǎo)函數(shù)的解析式，分類(lèi)討論可得：當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)遞增，沒(méi)有極值；當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， 的極小值為，無(wú)極大值.

（2）分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)， 明顯成立；

當(dāng)時(shí)，由（1），知在內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)利用反證法可證得結(jié)論；

當(dāng)時(shí)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（1）由題意得.

當(dāng)，即時(shí)， ， 在內(nèi)單調(diào)遞增，沒(méi)有極值.

當(dāng)，即時(shí)，

令，得，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)， 取得極小值 ，無(wú)極大值.

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)遞增，沒(méi)有極值；

當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， 的極小值為，無(wú)極大值.

（2）當(dāng)時(shí)， 成立.

當(dāng)時(shí)，由（1），知在內(nèi)單調(diào)遞增，

令為和中較小的數(shù)，

所以，且，

則， .

所以 ，

與恒成立矛盾，應(yīng)舍去.

當(dāng)時(shí)， ，

即，

所以.

令，

則.

令，得，

令，得，

故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

故，

即當(dāng)時(shí)， .

所以 .

所以.

而，

所以.