Question

(08年龍巖一中模擬)（14分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點(diǎn)M、N，則是否存在點(diǎn)R，使C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行？如果存在，請求出R的橫坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：（I）解：當(dāng)時(shí)，

則，

的定義域?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090421/20090421152253005.gif' width=51>，令＝0 ，得                    ……… 2分

當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞減；

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

單調(diào)遞減區(qū)間為.                                 …………………………  4分

（II）b=2時(shí)，

則

因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以＜0有解.

即當(dāng)x＞0時(shí)，則.          ………………………… 5分

①當(dāng)a＝0時(shí)，為單調(diào)遞增的一次函數(shù)，＞0在（0，+∞）總有解.

②當(dāng)a＞0時(shí)，為開口向上的拋物線，＞0在（0，+∞）總有解.

③當(dāng)a＜0時(shí),為開口向下的拋物線,而＞0在（0，+∞）總有解.

則△=4+4a＞0，且方程=0至少有一個(gè)正根，此時(shí)，－1＜a＜0

綜上所述，a的取值范圍為（－1，+∞）                   ………………………… 9分

（III）證：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是

則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為

C₁點(diǎn)在M處的切線斜率為

C₂點(diǎn)N處的切線斜率為            ……………… 10分

假設(shè)C₁點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行，則k₁=k₂

即則

 

 .

設(shè)，則①                    …………………………  12分

令則

因?yàn)?I>t>1時(shí)，，所以r(t)在上單調(diào)遞增.故

則.這與①矛盾，假設(shè)不成立.

故C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行.    ………………………… 14分