Question

3．如果曲線2|x|-y-4=0的圖象與曲線C：x²+λy²=4恰好有兩個不同的公共點，則實數λ的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]
• B． [-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）
• C． （-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[0，$\frac{1}{4}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 去絕對值可得x≥0時，y=2x-4；當x＜0時，y=-2x-4，數形結合可得曲線必相交于（±2，0），分別聯(lián)立方程結合一元二次方程根的分布可得．

解答 解：由2|x|-y-4=0可得y=2|x|-4，
當x≥0時，y=2x-4；當x＜0時，y=-2x-4，
∴函數y=2|x|-4的圖象與方程x²+λy²=4的曲線必相交于（±2，0）
∴為了使函數y=2|x|-4的圖象與方程x²+λy²=1的曲線恰好有兩個不同的公共點，
則y=2x-4代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+4λ）x²-16λx+16λ-4=0，
當λ=-$\frac{1}{4}$時，x=2滿足題意，由于△＞0，2是方程的根，∴$\frac{16λ-4}{1+4λ}$＜0，
解得-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{1}{4}$時，方程兩根異號，滿足題意；
y=-2x-4代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+4λ）x²+16λx+16λ-4=0
當λ=-$\frac{1}{4}$時，x=-2滿足題意，由于△＞0，-1是方程的根，$\frac{16λ-4}{1+4λ}$＜0，
解得-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{1}{4}$時，方程兩根異號，滿足題意；
綜上知，實數λ的取值范圍是[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質，考查分類討論的數學思想和不等式的解法以及數形結合，屬中檔題．