Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2ax²-3x（a∈R），若函數(shù)f（x）的圖象上點(diǎn)P（1，m）處的切線方程為3x-y+b=0，（1）求a、m的值；（2）求點(diǎn)P處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為過(guò)P切線方程的斜率，又由切線方程得到切線的斜率為3，讓求出的導(dǎo)函數(shù)值等于3列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入，確定出f（x），把x=1代入即可求出m的值；
（2）把（1，-$\frac{1}{3}$）代入切線方程，求出b，即可得到切線方程．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2ax²-3x，
∴f′（x）=2x²-4ax-3，
則過(guò)點(diǎn)P（1，m）的切線斜率為k=f′（1）=-1-4a，
又∵切線方程為3x-y+b=0，
∴-1-4a=3，即a=-1
∴f（x）=$\frac{2}{3}$x³+2x²-3x，
又∵P（1，m）在f（x）的圖象上，
∴m=-$\frac{1}{3}$；
（2）點(diǎn)P處的切線方程：3x-y+b=0，（1，$-\frac{1}{3}$）代入方程可得，b=$\frac{10}{3}$．
點(diǎn)P處的切線方程：9x-3y+10=0．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是一道中檔題．