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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是矩形，E是棱PD的中點，PA=AD=4，AB=3．
（1）證明PB∥底面ACE；
（2）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）首先利用中位線得到線線平行，進一步轉(zhuǎn)化為線面平行．
（2）首先利用綿綿的垂直轉(zhuǎn)化成線面的垂直，進一步得出線面的夾角，最后利用解直角三角形知識求出結(jié)果．
解答：
證明：（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO，
則：EO是△PBD的中位線，
所以：PB∥EO
因為PB?平面ACE，EO?平面ACE
所以：PB∥平面ACE                                       
（2）作BH⊥AC于H，連結(jié)PH
因為：PA⊥底面ABCD，
所以：平面PAC⊥平面ABCD
由兩平面垂直的性質(zhì)定理得，BH⊥平面PAC
所以：∠BPH就是直線PB與平面PAC所成的角．
因為 PB=5，BH=
12
5
，
所以：sin∠BPH=
BH
PB
=
12
25
，
即直線PB與平面PAC所成的角的正弦值為
12
25
．
點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定定理，線面的夾角，解直角三角形知識，屬于基礎(chǔ)題型．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知不等式ax2＞3x-2的解集為{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a，b；
（2）解不等式acx2-（ac+b）x+b＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=
1，x＞0
0，x=0
-1，x＜0
，h（x）=
1，x是有理數(shù)
0，x是無理數(shù)
，則f（h（e））等于（　　）
A、1B、0C、-1D、e

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

“φ=
π
2
”是y=cos（x+φ）為奇函數(shù)的（　　）
A、充分而不必要條件
B、必要而不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

從甲城市到乙城市m分鐘的電話費由函數(shù)f（m）=1.06×（
3
4
[m]+
7
4
）給出，其中m＞0，[m]表示不大于m的最大整數(shù)（如[3]=3，[3.9]=3，[3.1]=3），則從甲城市到乙城市7.8分鐘的電話費為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，點（x，y）在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運動，那么3x-y的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱錐P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC，AB=AC，E，F(xiàn)分別為BC，BP的中點，求證：（1）直線EF∥平面PAC；
（2）平面AEF⊥平面PBC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

集合A={（x，y）|
y+2
x-1
=1}，B={（x，y）|3x+y-1=0}全集U={（x，y）|x∈R，y∈R}，則（∁UA）∩B=（　�。�
A、{1，-2}
B、{（1，-2）}
C、{（-1，2）}
D、{（x，y）|3x+y-1=0}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正數(shù)x、y滿足
2
x
+
1
y
=3，則xy的最小值為
 
．

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同步練習(xí)冊答案