Question

4．已知向量$\vec a，\vec b，\vec c$是空間的一個(gè)單位正交基底，向量$\vec a+\vec b，\vec a-\vec b，\vec c$是空間的另一個(gè)基底．若向量$\vec m$在基底$\vec a，\vec b，\vec c$下的坐標(biāo)為（1，2，3），則$\vec m$在基底$\vec a+\vec b，\vec a-\vec b，\vec c$下的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$，3）．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{m}$=x（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）+y（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）+z$\overrightarrow{c}$，根據(jù)空間向量基本定理即可建立關(guān)于x，y，z的方程，解方程即得x，y，z

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{m}$=x（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）+y（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）+z$\overrightarrow{c}$=（x+y）$\overrightarrow{a}$+（x-y）$\overrightarrow$+z$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$+3$\overrightarrow{c}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=2}\\{z=3}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$，z=3，
∴$\vec m$在基底$\vec a+\vec b，\vec a-\vec b，\vec c$下的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$，3）
故答案為：$（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}，3）$

點(diǎn)評(píng) 考查基底的概念，空間向量坐標(biāo)的概念，以空間向量基本定理．