Question

已知向量，，其中A、B是△ABC的內角，⊥，
（Ⅰ）求tanAtanB的值；
（Ⅱ）求tanC的最大值．

Answer 1

解：（I）根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，得
•=sin²+（cos²-）=[1-cos（A+B）]+[1+cos（A-B）]-
=cos（A-B）-cos（A+B）=（cosAcosB+sinAsinB）-（cosAcosB-sinAsinB）
=sinAsinB-cosAcosB
∵⊥，
∴•=0，即sinAsinB-cosAcosB=0，可得sinAsinB=cosAcosB
∴tanAtanB==
（II）∵A、B是△ABC的內角，
∴π-C=A+B，可得tanC=-tan（A+B）==-（tanA+tanB）
∵A、B是三角形的內角，且tanAtanB=＞0
∴A、B都是銳角，tanA、tanB都是正數(shù)
因此tanA+tanB≥2=
∴-（tanA+tanB）≤-×=-，即tanC≤-，
當且僅當tanA=tanB=時，tanC的最大值為-．
分析：（I）根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，將•展開，并用三角函數(shù)的降冪公式、和與差的余弦公式化簡得：•=sinAsinB-cosAcosB，再由⊥，得到sinAsinB-cosAcosB=0，最后可用同角三角函數(shù)的商數(shù)關系，得到tanAtanB=；
（II）根據(jù)三角形的內角和等于π，結合三角和的正切公式，可得tanC=-tan（A+B）=-（tanA+tanB），再經過討論可得tanA、tanB都是正數(shù)，所以tanA+tanB≥2=，從而得到當且僅當tanA=tanB=時，tanC的最大值為-．
點評：本題著重考查了三角函數(shù)的降冪公式、兩角和的正切公式和基本不等式等知識點，屬于中檔題．