Question

13．某中學(xué)為了落實“陽光運動一小時”活動，計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為S的矩形AMPN健身場地．如圖，點M在AC上，點N在AB上，且P點在斜邊BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．
（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；
（2）若在矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪．已知：矩形AMPN健身場地每平方米的造價為$\frac{37k}{{\sqrt{S}}}$，草坪的每平方米的造價為$\frac{12k}{{\sqrt{S}}}$（k為正常數(shù)）．設(shè)總造價T關(guān)于S的函數(shù)為T=f（S），試問：如何選取|AM|的長，才能使總造價T最低．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得，欲求健身場地占地面積，只須求出圖中矩形的面積即可，再結(jié)合矩形的面積計算公式求出它們的面積即得，最后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出其范圍；
（2）對于（1）所列不等式，考慮到其中兩項之積為定值，可利用基本不等式求它的最大值，從而解決問題．

解答 解：（1）在Rt△PMC中，顯然|MC|=30-x，∠PCM=60°，
∴$|PM|=|MC|•tan∠PCM=\sqrt{3}（30-x）$，…（2分）
矩形AMPN的面積$S=|PM|•|MC|=\sqrt{3}x（30-x）$，x∈[10，20]…（4分）
于是$200\sqrt{3}≤S≤225\sqrt{3}$為所求．…（6分）
（2）矩形AMPN健身場地造價T₁=$37k\sqrt{S}$…（7分）
又△ABC的面積為$450\sqrt{3}$，即草坪造價T₂=$\frac{12k}{{\sqrt{S}}}（450\sqrt{3}-S）$，…（8分）
由總造價T=T₁+T₂，∴$T=25k（\sqrt{S}+\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}）$，$200\sqrt{3}≤S≤225\sqrt{3}$．…（10分）
∵$\sqrt{S}+\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}≥12\sqrt{6\sqrt{3}}$，…（11分）
當且僅當$\sqrt{S}=\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}$即$S=216\sqrt{3}$時等號成立，…（12分）
此時$\sqrt{3}x（30-x）=216\sqrt{3}$，解得x=12或x=18，
所以選取|AM|的長為12米或18米時總造價T最低．…（14分）

點評 本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用、矩形的面積等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．