Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{a}-\frac{1}{x}；（a＞0）$．
（1）證明f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）是否存在實數(shù)a使得f（x）的定義域、值域都是$[{\frac{1}{2}，2}]$，若存在求出a的值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的方程組，解出即可．

解答 （1）證明：設(shè)x₂＞x₁＞0，
則f（x₂）-f（x₁）=（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）-（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₂＞x₁＞0，∴x₂-x₁＞0，
∴$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）遞增；
（2）解：∵f（x）在（0，+∞）遞增，
且定義域和值域均是[$\frac{1}{2}$，2]，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{a}-2=\frac{1}{2}}\\{f（2）=\frac{1}{a}-\frac{1}{2}=2}\end{array}}\right.$，
所以存在實數(shù)$a=\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．