Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{|x+a|}{{{x^2}+1}}$（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）＞1；
（Ⅱ）對任意的b∈（0，1），當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，$f（x）＞\frac{x}$恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式組，解出即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為$a＞（b-1）x+\frac{x}$或$a＜-[（b+1）x+\frac{x}]$對任意x∈（1，2）恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{|x+1|}{{{x^2}+1}}＞1$
?x²+1＜|x+1|
?$\left\{\begin{array}{l}x+1≥0\\{x^2}+1＜x+1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x+1＜0\\{x^2}+1＜-（x+1）\end{array}\right.$
?0＜x＜1…．（6分）
（2）$f（x）=\frac{|x+a|}{{{x^2}+1}}＞\frac{x}$
?$|x+a|＞b（x+\frac{1}{x}）$
?$x+a＞b（x+\frac{1}{x}）$或$x+a＜-b（x+\frac{1}{x}）$
?$a＞（b-1）x+\frac{x}$或$a＜-[（b+1）x+\frac{x}]$對任意x∈（1，2）恒成立…（10分）
所以a≥2b-1或$a≤-（\frac{5}{2}b+2）$，對任意b∈（0，1）恒成立…．（13分）
所以a≥1或$a≤-\frac{9}{2}$…（15分）

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．