Question

如圖，已知直三棱柱中，是等腰直角三角形，，、、分別是、、的中點(diǎn)．現(xiàn)設(shè)．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的正切值．

Answer 1

解法1：（1）取AB的中點(diǎn)H，連結(jié)DH

 

四邊形CHDE為平行四邊形．

（2）在等腰

又∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面CBB₁C₁，

且平面ABC∩平面CBB₁C₁=CB，

∴AF⊥平面CBB₁C₁，

又平面．

由題設(shè)，CE=a，則，

．

，

又平面AEF．

（3）在平面B₁EA內(nèi)，作，垂足為K，連結(jié)KF．

則為二面角B₁―AE―F的平面角．

∵在Rt△AFE中，，

，

∴在Rt△B₁FK中，．

即二面角B₁―AE―F的平面角的正切值為．

解法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

，

．

（1）       取的中點(diǎn)H，連結(jié)CH．

，

，

平面ABC，

而平面，

平面ABC．

（2），

∴B₁F⊥EF，B₁F⊥AF.

∵EF∩AF=F.

∴B₁F⊥平面AEF.

（3）設(shè)平面AB₁E的一個(gè)法向量為

，

，

令，則．

由于平面AEF的一個(gè)法向量為，

故設(shè)與m所成角為θ．

．

由于平面AB₁E與平面AEF所成的二面角為銳二面角．

∴二面角B₁―AE―F的平面角的余弦值為．

∴二面角B₁―AE―F的正切值為．