Question

過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線與橢圓

x2

2

+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，且弦長(zhǎng)|AB|=

14

3

，求該直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直接求出AB的長(zhǎng)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式求得直線斜率，則答案可求．

解答： 解：當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線方程為x=0，弦AB為橢圓的短軸，長(zhǎng)度為2；
當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+2，
聯(lián)立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

-8k

2k2+1

，x1x2=

6

2k2+1

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

( -8k 2k2+1 )2-4× 6 2k2+1

=

14

3

．
解得：k2=

5

2

．
∴k=±

10

2

．
∴直線方程為：y=±

10

2

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，是中檔題．