Question

【題目】對于函數，如果存在實數使得，那么稱為的生成函數.

（1）函數，是否為的生成函數？說明理由；

（2）設，，當時生成函數，求的對稱中心（不必證明）；

（3）設，，取，，生成函數，若函數的最小值是5，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）不是的生成函數,詳見解析（2）的對稱中心為（3）

【解析】

（1）先假設存在，列出方程，根據方程無解，得出不存在；

（2）化簡函數式為，從而判斷函數圖象關于點中心對稱；

（3）運用雙勾函數的圖象和性質，并通過分類討論確定函數的最值．

解：（1）根據生成函數的定義，設存在，使得，

則，

對比兩邊的系數可知，，方程組無解，

所以，不是，的生成函數；

（2）因為，所以，，

而，

該函數的圖象為雙曲線，對稱中心為；

（3）根據題意，，

根據基本不等式，，

當且僅當：時，取“”，

因此，函數單調性為，上單調遞減，上單調遞增，

故令，解得，最值情況分類討論如下：

①當，時，，

所以，當時，單調遞增，，解得，符合題意；

②當時，，

所以，當時，先減后增，，解得，不合題意；

綜合以上討論得，實數的值為1．