Question

如圖，橢圓C₀：＝1(a>b>0，a、b為常數(shù))，動圓C₁：x²＋y²＝t，b<t₁<a.點(diǎn)A₁、A₂分別為C₀的左、右頂點(diǎn)，C₁與C₀相交于A、B、C、D四點(diǎn)．

(1) 求直線AA₁與直線A₂B交點(diǎn)M的軌跡方程；

(2) 設(shè)動圓C₂：x²＋y²＝t與C₀相交于A′，B′，C′，D′四點(diǎn)，其中b<t₂<a，t₁≠t₂.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：t＋t為定值．

Answer 1

 (1) 解：設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₁，－y₁)，又知A₁(－a，0)，A₂(a，0)，

則直線A₁A的方程為y＝ (x＋a)，①

直線A₂B的方程為y＝ (x－a)．②

由①②得y²＝ (x²－a²)．③

由點(diǎn)A(x₁，y₁)在橢圓C₀上，故＋＝1.

從而y＝，代入③得－＝1(x<－a，y<0)．

(2) 證明：設(shè)A′(x₂，y₂)，由矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，得4|x₁||y₁|＝4|x₂||y₂|，故xy＝xy.因?yàn)辄c(diǎn)A，A′均在橢圓上，所以.由t₁≠t₂，知x₁≠x₂，所以x＋x＝a²，從而y＋y＝b²，因此t＋t＝a²＋b²為定值．