Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)=x³-x²-x+a.

(1)求的極值;

(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).

Answer 1

解：(1)=3x²-2x-1.

若=0,則x=-,1.

當(dāng)x變化時(shí), , 的變化情況如下表.

x	(-∞,-)	-	(-,1)	1	(1, +∞)
	+	0	-	0	+

所以的極大值是f(-)=＋a,極小值是f(1)=a－1.

(2)函數(shù)=x³-x²-x+a=(x-1)²(x+1)+a-1.

由此可知x取足夠大的正數(shù)時(shí),有＞0,x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有＜0.

所以曲線與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn).

結(jié)合的單調(diào)性可知.

當(dāng)的極大值+a＜0,即a∈(-∞,-)時(shí),它的極小值也小于0,因此曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),它在(1,+∞)上;

當(dāng)的極小值a-1＞0,即a∈(1,+∞)時(shí),它的極大值也大于0，因此曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),它在(-∞,-)上.?

所以當(dāng)a∈(-∞,-)∪(1,+∞)時(shí),曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).