Question

【題目】已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線也相切.

(1)求實(shí)數(shù)的值；

(2)設(shè)函數(shù)，若且，證明: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，先求出在處的切線方程是，再根據(jù)題意這個(gè)直線也是的切線，聯(lián)立判別式等于零解出參數(shù)即可；（2）研究函數(shù)的單調(diào)性得到當(dāng)時(shí)， 是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， 是增函數(shù)，再證當(dāng)時(shí)， 恒成立，即，賦值法得到，證得即可。

(1) ∵，當(dāng)時(shí)， ，故在處的切線方程是，聯(lián)立，消去得，∴，∴或1，故．

(2)由(1)知，由，則．又 ，當(dāng)時(shí)， 是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， 是增函數(shù)，令， ，再令，則 ，∴．又，當(dāng)時(shí)， 恒成立，即恒成立．令，即，有，即，∵，∴.又，必有，又當(dāng)時(shí)， 是增函數(shù)， ∴-，即.