Question

4．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AB=1，BC=2，PD⊥平面ABCD，且PD=3，PB的中點E，求異面直線AE與PC所成角的大�。�（用反三角表示）

Answer 1

分析 取BC的中點F，連接EF，AF、AE，推導出∠AEF（或者其補角）為異面直線AE與PC所成角，由此能求出異面直線AE與PC所成角的大�。�

解答 解：取BC的中點F，連接EF，AF、AE，
∵E、F是中點，∴EF是△PBD的中位線，∴EF∥PB，
∴∠AEF（或者其補角）為異面直線AE與PC所成角，（3分）
∵四邊形ABCD是矩形，AB=1，BC=2，PD⊥平面ABCD，
∴三垂線定理得PA⊥AB，
在Rt△PAB中，$PB=\sqrt{14，}AE=\frac{{\sqrt{14}}}{2}$（5分）
$PC=\sqrt{10}，EF=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$（6分）
$AF=\sqrt{2}$，$AE=\frac{{\sqrt{14}}}{2}$，（7分）
由余弦定理，知$cos∠AEF=\frac{{A{E^2}+E{F^2}-A{F^2}}}{2AE•EF}$=$\frac{{{{（{\frac{{\sqrt{14}}}{2}}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{10}}}{2}}）}^2}-{{（{\sqrt{2}}）}^2}}}{{2•\frac{{\sqrt{14}}}{2}•\frac{{\sqrt{10}}}{2}}}=\frac{{4\sqrt{35}}}{35}$，（10分）
∴$∠AEF=arccos\frac{{4\sqrt{35}}}{35}$（11分）
∴異面直線AE與PC所成角的大小$arccos\frac{{4\sqrt{35}}}{35}$．（12分）

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．