Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法即可求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N*），λ＞0，
可得

an+1

λn+1

-(

2

λ

)n+1=

an

λn

-(

2

λ

)n+1，
所以[

an+1

λn+1

-(

2

λ

)n+1]-[

an

λn

-(

2

λ

)n]=1，故{

an

λn

-(

2

λ

)n}是以

a1

λ

-

2

λ

=

2

λ

-

2

λ

=0為首項，公差d=1的等差數(shù)列，
故

an

λn

-(

2

λ

)n=n-1，
則a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
（Ⅱ）設(shè)T_n=λ²+2λ³+3λ⁴+…+（n-2）λ^n-1+（n-1）λⁿ①
λT_n=λ³+2λ⁴+3λ⁵+…+（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹．②
當(dāng)λ≠1時，①式減去②式，得（1-λ）T_n=λ²+λ³+…+λⁿ-（n-1）λⁿ⁺¹=

λ2-λn+1

1-λ

-(n-1)λn+1，
則T_n=

λ2-λn+1

(1-λ)2

-

(n-1)λn+1

1-λ

=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

，
則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

+2ⁿ⁺¹-2，
當(dāng)λ=1時，T_n=

n(n-1)

2

．則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

n(n-1)

2

．+2ⁿ⁺¹-2．

點評：本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前n項和公式、數(shù)列求和，要求熟練掌握構(gòu)造法以及錯位相減法在求解數(shù)列中的應(yīng)用．