Question

已知函數(shù)f（x）=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為14，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先令t=a^x，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再結(jié)合a＞1或0＜a＜1確定出t的范圍，結(jié)合單調(diào)性確定何時取最大值列出方程即可．

解答： 解：令t=a^x＞0
則原函數(shù)化為y=t²+2t-1=（t+1）²-2
結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知該函數(shù)在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
結(jié)合x∈[-1，1]，
則當(dāng)a＞1時，t=ax∈[

1

a

，a]，所以ymax=a2+2a-1=14，解得a=3或-5（舍），所以此時a=3符合題意；
當(dāng)0＜a＜1時，t=ax∈[a，

1

a

]，所以ymax=(

1

a

)2+

2

a

-1=14，解得

1

a

=3或-5（舍），故a=

1

3

符合題意；
綜上，所求實數(shù)a的值為3或

1

3

．

點評：本題考查了利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題是關(guān)鍵．