Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P為線段AD（含端點）上一個動點，設(shè)

AP

=x

AD

，

PB

•

PC

=y，對于函數(shù)y=f（x），給出以下四個結(jié)論：
①當(dāng)a=2時，函數(shù)的值域為[1，4]；
②?a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立；
③?a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）的最大值都等于4；
④若f（x）在（0，1）上單調(diào)減，則a∈（0，

2

]．
其中所有正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），可得B（0，0），A（-2，0），D（-1，a），C（0，a）．

AP

=x

AD

，（0≤x≤1）．可得

BP

=

BA

+

AP

=（x-2，xa），

PC

=

PB

+

BC

=（2-x，a-xa）．y=f（x）=

PB

•

PC

=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．，（0≤x≤1）．
①當(dāng)a=2時，y=f（x）=5x²-8x+4=5(x-

4

5

)2+

4

5

，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
②由y=f（x）=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．可得：?a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立；
③由y=f（x）=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．可知：對稱軸x₀=

4+a2

2(a2+1)

．當(dāng)0＜a≤

2

時，1＜x₀．當(dāng)a＞

2

時，0＜x₀＜1，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出：
f（x）_max=f（0）．
④由③可得：f（x）在（0，1）上單調(diào)減，則a∈（0，

2

]．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），
∴B（0，0），A（-2，0），D（-1，a），C（0，a）．
∵

AP

=x

AD

，（0≤x≤1）．
∴

BP

=

BA

+

AP

=（-2，0）+x（1，a）=（x-2，xa），

PC

=

PB

+

BC

=-（x-2，xa）+（0，a）=（2-x，a-xa）．
∴y=f（x）=

PB

•

PC

=（2-x，-xa）•（2-x，a-xa）
=（2-x）²-ax（a-xa）
=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．，（0≤x≤1）．
①當(dāng)a=2時，y=f（x）=5x²-8x+4=5(x-

4

5

)2+

4

5

，∵0≤x≤1，∴當(dāng)x=

4

5

時，f（x）取得最小值

4

5

；又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）_max=f（0）=4．綜上可得：函數(shù)f（x）的值域為[

4

5

，1]．因此①不正確．
②由y=f（x）=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．可得：?a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立，因此②正確；
③由y=f（x）=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．可知：對稱軸x₀=

4+a2

2(a2+1)

．當(dāng)0＜a≤

2

時，1＜x₀，∴函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，因此當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得最大值4．當(dāng)a＞

2

時，0＜x₀＜1，函數(shù)f（x）在[0，x₀）單調(diào)遞減，在（x₀，1]上單調(diào)遞增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）_max=f（0）=4．因此③正確．
④由③可得：f（x）在（0，1）上單調(diào)減，則a∈（0，

2

]，因此正確．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．