Question

8．函數(shù)$y=\frac{1}{3}{（\frac{1}{8}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+1$在x∈[-1，1]上的值域是[$\frac{1}{3}，\frac{5}{3}$]．

Answer 1

分析 令$（\frac{1}{2}）^{x}=t$換元，求出t的范圍，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（t）=$\frac{1}{3}{t}^{3}-t+1$的最值得答案．

解答 解：由$y=\frac{1}{3}{（\frac{1}{8}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+1$，令$（\frac{1}{2}）^{x}=t$，
∵x∈[-1，1]，∴t=$（\frac{1}{2}）^{x}∈[\frac{1}{2}，2]$．
原函數(shù)化為g（t）=$\frac{1}{3}{t}^{3}-t+1$．
g′（t）=t²-1．
由t²-1=0，得t=-1（舍），或t=1．
當(dāng)t∈（$\frac{1}{2}，1$）時，g′（t）＜0，當(dāng)t∈（1，2）時，g′（t）＞0．
∴當(dāng)t=1時，g（t）有極小值為g（1）=$\frac{1}{3}$．
又g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{13}{24}$，g（2）=$\frac{5}{3}$．
∴函數(shù)$y=\frac{1}{3}{（\frac{1}{8}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+1$在x∈[-1，1]上的值域是[$\frac{1}{3}，\frac{5}{3}$]．
故答案為：[$\frac{1}{3}，\frac{5}{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元法及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．