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已知圓,若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心，離心率為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，與圓分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

 

【答案】

(1) (2)

【解析】

試題分析：，

(1)從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心的坐標(biāo)即為橢圓的右頂點(diǎn),即可得到a值，再由橢圓離心率、a值結(jié)合、abc之間的關(guān)系可得到b值,即得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程并利用弦長公式可用斜率k表示弦長|AB|,|GH|.由對稱性得到|AB|=|GH|,得到r關(guān)于k的表達(dá)式,再根據(jù)表達(dá)式可以利用函數(shù)值域求法中的換元法解得r的取值范圍.

試題解析：

(1)設(shè)橢圓的焦距為2C，因?yàn)?/span>a=,,,所以橢圓C的方程為.

(2)設(shè)A,聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,又因?yàn)辄c(diǎn)M()到直線l的距離d=。所以,顯然若點(diǎn)H也在直線AB上,則由對稱性可知,直線y=kx就是y軸與已知矛盾,所以要使得|AG|=|BH|,只要|AB|=|GH|,所以,

當(dāng)k=0時(shí),，當(dāng)k時(shí), ,由于,綜上.

考點(diǎn)：橢圓方程極其性質(zhì) 弦長

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年黑龍江佳木斯市高三第三次調(diào)研理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知圓，若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，與圓分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年湖北省高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，已知圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B．過點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn)．

   （1）求橢圓的方程；

   （2）若點(diǎn)恰在以線段CD為直徑

的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分13分）

如圖6，已知圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)及上頂點(diǎn)，過橢圓外一點(diǎn) 且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）

如圖6，已知圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)及上頂點(diǎn)，過橢圓外一點(diǎn) 且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若求的取值范圍.

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