Question

20．我們知道，任意兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的積一定能被2整除，任意三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的積一定能被6整除，那么，任意五個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的積一定能被哪一個(gè)正整數(shù)整除呢？以此為依據(jù)你認(rèn)為：當(dāng)n為大于2的整數(shù)時(shí)，n⁵-5n³+4n能否被120整除？為什么？

Answer 1

分析 任意五個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的積一定能被120整除，原式可化為n（n²-1）（n²-4）=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2），即可得出結(jié)論．

解答 解：連續(xù)5個(gè)整數(shù)，必然有一個(gè)能被5整除，必然有一個(gè)能被2整除，還有另一個(gè)能被4整除，必然有一個(gè)能被3整除，即2×3×4×5=120，所以，任意五個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的積一定能被120整除．
∵n⁵-5n³+4n=n（n⁴-5n²+4）
=n（n²-1）（n²-4）
=n（n-1）（n+1）（n-2）（n+2）
=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2），
∴n⁵-5n³+4n能被120整除．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，涉及多項(xiàng)式的因式分解和運(yùn)用綜合法證明問(wèn)題，屬于中檔題．