Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是，且f（x）+f（2-x）=0，，當(dāng)時，f（x）=3^x．
（1）求證：f（x+2）=f（x）且f（x）是奇函數(shù)；
（2）求當(dāng)時函數(shù)f（x）的解析式，并求x∈Z）時f（x）的解析式；
（3）當(dāng)x∈時，解不等式log₃f（x）＞x²-（2k+2）x+2k+1．

Answer 1

解：（1）由得，
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈時，，
∴f（1-x）=3^1-x．
而，
∴f（x）=3^x-1．
當(dāng)x∈Z）時，，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．
（3）不等式log₃f（x）＞x²-（2k+2）x+2k+1
即為x-2k-1＞x²-（2k+2）x+2k+1，
即x²-（2k+3）x+2（2k+1）＜0，（x-2）[x-（2k+1）]＜0
當(dāng)2k+1＜2即時，x∈（2k+1，2）與條件不符；
當(dāng)2k+1=2即時，無解．
當(dāng)2k+1＞2即時，若即時整數(shù)k不存在；
若即時，．
綜上：k≥1時 ，k＜1時x∈φ
分析：（1）根據(jù)與f（x+2）=f（x）可求出f（x）與f（-x）的關(guān)系，從而確定函數(shù)的奇偶性；
（2）當(dāng)x∈時，，代入已知解析式，從而求出所求，當(dāng)x∈Z）時，，代入已知解析式即可求出所求；
（3）將函數(shù)解析式代入，然后討論兩根的大小，從而求出不等式的解集．
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及在給定區(qū)間上的解析式和不等式的解集等有關(guān)問題，屬于中檔題．