Question

已知定點，，動點到定點距離與到定點的距離的比值是.

（Ⅰ）求動點的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；

（Ⅱ）當時，記動點的軌跡為曲線.

①若是圓上任意一點，過作曲線的切線，切點是，求的取值范圍；

②已知，是曲線上不同的兩點，對于定點，有.試問無論，兩點的位置怎樣，直線能恒和一個定圓相切嗎？若能，求出這個定圓的方程；若不能，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），

方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓.

（Ⅱ）當時，曲線的方程是，曲線表示圓，圓心是，半徑是.

①.

②動直線與定圓相切.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設動點的坐標為，則由，得，

整理得: .

   ，

當時，則方程可化為：，故方程表示的曲線是線段的垂直平分線；

當時，則方程可化為，

即方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓.          5分

（Ⅱ）當時，曲線的方程是，

故曲線表示圓，圓心是，半徑是.

①由，及有：

兩圓內含，且圓在圓內部.如圖所示，由有: ,故求的取值范圍就是求的取值范圍.而是定點，是圓上的動點，故過作圓的直徑，得，，故，.          9分

②設點到直線的距離為，，

則由面積相等得到，且圓的半徑. 

即于是頂點 到動直線的距離為定值，

即動直線與定圓相切.

考點：圓的方程，圓與圓的位置關系，直線與圓的位置關系。

點評：難題，本題確定軌跡方程，利用了“直接法”，對于參數(shù)的討論，易出現(xiàn)遺漏現(xiàn)象。本題確定點到直線的距離，轉化成面積計算，不易想到。