Question

如圖，A地到火車站共有兩條路徑L₁和L₂，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過(guò)兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表：

時(shí)間/分鐘	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
L1的頻率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
L2的頻率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站．

(1)為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？

(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(duì)(1)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

 

Answer 1

【答案】

(1) 甲應(yīng)選擇L_1，乙應(yīng)選擇L₂ (2)分布列見解析。數(shù)學(xué)期望 1.5(人)

【解析】(1)要分別計(jì)算出甲、乙選擇不同路徑的概率，要選擇概率較大的路徑.

(2) A，B分別表示針對(duì)(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，本小題首先要確定X的可能取值為0,1,2,還要知道A、B兩個(gè)事件是獨(dú)立的.再計(jì)算出每個(gè)X值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.

解：(1)A_i表示事件“甲選擇路徑L_i時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，B_i表示事件“乙選擇路徑L_i時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i＝1,2.

用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得P(A₁)＝0.1＋0.2＋0. 3＝0.6，P(A₂)＝0.1＋0.4＝0.5，

∵P(A₁)>P(A₂)，∴甲應(yīng)選擇L₁；……………..3分

P(B₁)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，  P(B₂)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，

∵P(B₂)>P(B₁)，∴乙應(yīng)選擇L₂…………..5分

(2)A，B分別表示針對(duì)(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由題意知，A，B獨(dú)立，X的可能取值為0,1,2……….6分

∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04，

P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P()＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，

P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54…………….9分.

∴X的分布列為

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

………10分

∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5(人)．………….12分