Question

12．已知一個三角形的周長和面積分別是84、210，一個單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無摩擦地滾動一周后回到原來的位置（如圖），則這個三角形的內(nèi)部以及邊界沒有被單位圓滾過的部分的面積是84-π．

Answer 1

分析 由圖知，要求的面積有兩部分：
①三角形的內(nèi)部被圓滾過的部分是個三角形，且與原三角形相似，已知了原三角形的周長和面積，可求得原三角形的內(nèi)切圓半徑，進而可得三角形內(nèi)部被圓滾過部分的三角形的內(nèi)切圓半徑，即可得到兩個三角形的相似比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得此三角形的周長和面積；
②三角形邊界的三個角的面積；連接單位圓的圓心和原三角形的三頂點，先求得構(gòu)成的6個小直角三角形的面積，而3個扇形正好構(gòu)成一個圓，由此可得原三角形邊界三個角的面積；
綜合①②的面積，即可得所求的值．

解答 解：如圖．
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為R，△DEF的內(nèi)切圓半徑為r；
依題意有：$\frac{1}{2}$×84×R=210，即R=5；
易知：△DEF∽△ABC，且r：R=4：5，
∴C_△DEF=$\frac{4}{5}$C_△ABC=67.2；
易知：被圓滾過的三角形內(nèi)部的三角形也和△ABC相似；
且其內(nèi)切圓半徑為：R-2=3，即其面積=$（\frac{3}{5}）^{2}$S_△ABC=75.6；
由圖知：S_{四邊形AHDG}=2S_△AGD=AG•1=AG，同理S_{四邊形PEQB}=BQ，S_{四邊形CNFM}=CM；
∴S_{四邊形AHDG}+S_{四邊形PEQB}+S_{四邊形CNFM}=AG+CM+BQ=$\frac{1}{2}$（C_△ABC-C_△DEF）=8.4；
而S_扇形DHG+S_扇形PEQ+S_扇形FMN=S_單位圓=π，
∴所求的面積=75.6+8.4-π=84-π．
故答案為：84-π．

點評 此題主要考查的是圖形面積的求法，涉及到切線的性質(zhì)、扇形面積的計算方法、相似三角形以及三角形內(nèi)切圓半徑的求法等知識；需要注意的有兩點：
①被圓滾過的三角形內(nèi)部的三角形與原三角形相似，②原三角形邊界的三個扇形正好構(gòu)成一個單位圓．