Question

【題目】已知正四面體的表面積為，為棱的中點，球為該正四面體的外接球，則過點的平面被球所截得的截面面積的最小值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

本題首先可以將正四面體放入正方體中，然后借助正方體的性質(zhì)得出外接球的球心，通過正四面體的表面積為即可計算出長，從而求得外接球的半徑，利用截面圓的性質(zhì)求得最小截面圓的半徑徑，問題得解。

如圖所示，

將正四面體放入正方體中，則正方體的中心即為其外接球的球心，

因為正四面體的表面積為，

所以，

因為是正三角形，所以，，

設(shè)正方體的邊長為，則：，解得：

所以正四面體的外接球直徑為，

設(shè)過點的截面圓半徑為，球心到截面圓的距離為，正四面體的外接球半徑為，

由截面圓的性質(zhì)可得：

當(dāng)最大時，最小，此時對應(yīng)截面圓的面積最小.

又，所以的最大值為，此時最小為

所以過點的最小截面圓的面積為，故選B。