Question

已知函數(shù)f（x）=+2x（a∈R），g（x）=lnx．
（1）若函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）當a=l時，證明：x=1是函數(shù)y=f'（x）--2的唯一極值點．

Answer 1

解：（1）h（x）=lnx--2x （x＞0），則h′（x）=-ax-2
若函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）存在單調遞減區(qū)間，則h′（x）=-ax-2＜0在（0，+∞）上有解
而當x＞0時，-ax-2＜0?ax＞-2?a＞-
問題轉化為a＞-在（0，+∞）上有解
∵-=≥-1，即-在（0，+∞）上的值域為[-1，+∞）
∴a＞-1
（2）當a=1時，f（x）=x²+2x，∴y=x-，
函數(shù)y′=1-=
∵x=1時，y′=0，∴x=1是函數(shù)y′的零點
令M（x）=x²+lnx-1，則x=1是M（x）=0的根
下面證明M（x）=0無其它根
M′（x）=2x+，當x＞0時，M′（x）＞0，即y=M（x）在（0，+∞）上是單調增函數(shù)
∴M（x）=0有唯一根x=1
下面證明x=1是函數(shù)y=f'（x）--2的極值點
當x∈（0，1）時，y′=＜0，
∴y=f'（x）--2在（0，1）上是減函數(shù)
x∈（1，+∞）時，y′=＞0，
∴y=f'（x）--2在（0，1）上是增函數(shù)
∴x=1是函數(shù)y=f'（x）--2的極值點．
綜上所述，x=1是函數(shù)y=f'（x）--2的唯一極值點
分析：（1）先求函數(shù)h（x）的導函數(shù)h′（x），再將函數(shù)存在單調遞減區(qū)間問題轉化為導函數(shù)h′（x）＜0在（0，+∞）上有解問題，最后參變分離將此問題轉化為求函數(shù)最值問題即可得a的取值范圍
（2）先求出函數(shù)y=f'（x）--2的解析式，即y=x-，求其導函數(shù)y′，證明x=1是函數(shù)y′=的零點，再由單調性證明y′=0有唯一根x=1，最后由函數(shù)y=f'（x）--2的單調性，證明x=1是函數(shù)y=f'（x）--2的極值點，從而證明x=1是函數(shù)y=f'（x）--2的唯一極值點
點評：本題考查了導數(shù)在函數(shù)單調性和極值問題中的應用，將函數(shù)性質與不等式的根的分布、零點存在性及唯一性互相轉化的能力，推理證明的能力