Question

若函數(shù)f（x）=x³-3ax+3a在區(qū)間（0，2）內(nèi)有極小值，則a的取值范圍是（　�。�

• A、a＞0
• B、a＞2
• C、0＜a＜2
• D、0＜a＜4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=x³-3ax+3a在（0，2）內(nèi)有極小值，求導(dǎo)可得，導(dǎo)函數(shù)在（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，分a＞0、a=0、a＜0三種情況，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：對(duì)于函數(shù)f（x）=x³-3ax+3a，求導(dǎo)可得f′（x）=3x²-3a，
∵函數(shù)f（x）=x³-3ax+3a在（0，2）內(nèi)有極小值，
∴y′=3x²-3a=0，則其有一根在（0，2）內(nèi)，a＞0時(shí)，3x²-3a=0兩根為±

a

，
若有一根在（0，2）內(nèi)，則0＜

a

＜2，即0＜a＜4．
a=0時(shí)，3x²-3a=0兩根相等，均為0，f（x）在（0，2）內(nèi)無極小值．
a＜0時(shí)，3x²-3a=0無根，f（x）在（0，2）內(nèi)無極小值，
綜合可得，0＜a＜4，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．