Question

已知函數(shù)f（x）=4x³-3x²cosθ+cosθ，其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ＜2π，
（1）當(dāng)cosθ=0時，判斷函數(shù)f（x）是否有極值；
（2）要使函數(shù)f（x）的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；
（3）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a）內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當(dāng)cosθ=0時，，則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，故無極值。
（2），
令f′（x）=0，得，
由（1），只需分下面兩種情況討論
①當(dāng)cosθ＞0時，隨x的變化，f′（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

因此，函數(shù)f（x）在處取得極小值且，
要使＞0，必有，
可得，由于0≤θ＜2π，故；
②當(dāng)cosθ＜0時，隨x的變化，f′（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

因此，函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值f（0），且，
若f（0）＞0，則cosθ＞0，矛盾，所以當(dāng)cosθ＜0時，f（x）的極小值不會大于零；
綜上，要使函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)θ的取值范圍為；
（3）由（2）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與內(nèi)都是增函數(shù)，
由題設(shè)，函數(shù)f（x）在（2a-1，a）內(nèi)是增函數(shù)，
則a須滿足不等式組，
由（2），參數(shù)時，，
要使不等式關(guān)于參數(shù)θ恒成立，必有，即；
綜上，解得a≤0或，
所以a的取值范圍是。