Question

2．函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)，且a＞0）．
（1）若f（-1）=0，且f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a，b的值；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若f（x）為偶函數(shù)，設(shè)F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），（x＞0）}\\{-f（x），（x＜0）}\end{array}\right.$，mn＜0，m+n＞0，試比較F（m）+F（n）的值與0的大小．

Answer 1

分析 （1）f（-1）=0⇒a-b+1=0，又f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即最小值為0⇒4a-b²=0，求出f（x）的表達(dá)式再求F（x）的表達(dá)式即可；
（2）把g（x）的對稱軸求出和區(qū)間端點(diǎn)值進(jìn)行分類討論即可．
（3）把F（m）+F（n）轉(zhuǎn)化為f（m）-f（n）=a（m²-n²）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0來判斷即可．

解答 解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0①（1分）
又f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以a≠0，$\frac{4a{-b}^{2}}{4a}$=0即4a-b²=0②
由①②得a=1，b=2（3分）
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²．（5分）
（2）由（1）有g(shù)（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=（x+$\frac{2-k}{2}$）²+1-$\frac{{（2-k）}^{2}}{4}$，（7分）
當(dāng)$\frac{k-2}{2}$≥2或$\frac{k-2}{2}$≤-2時(shí)，
即k≥6或k≤-2時(shí)，g（x）是具有單調(diào)性．（9分）
（3）∵f（x）為偶函數(shù)，∴b=0，
∴f（x）=ax²+1，∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}+1，x＞0}\\{-{ax}^{2}-1，x＜0}\end{array}\right.$，（11分）
∵m＞0，n＜0，則m＞n，則n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|（13分）
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-an²-1=a（m²-n²）＞0，
∴F（m）+F（n）＞0．（16分）．

點(diǎn)評 本題是對二次函數(shù)性質(zhì)的綜合考查．其中（1）考查了二次函數(shù)解析式的求法．二次函數(shù)解析式的確定，應(yīng)視具體問題，靈活的選用其形式，再根據(jù)題設(shè)條件列方程組，即運(yùn)用待定系數(shù)法來求解．在具體問題中，常常會(huì)與圖象的平移，對稱，函數(shù)的周期性，奇偶性等知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起．