Question

函數f（x）=（x²+bx+c）e^x在點M（0，f（0））處的切線方程是x+2y+1=0．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）求當f（x）取最小值時x的取值，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=（x²+bx+c）e^x在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y+1=0，可求得f（0）的值，求導，令f′（0）=-2，解方程組可求得b，c的值，從而求出f（x）的表達式；
（2）令導函數f′（x）=0，求解，分析導函數的符號，可知函數的單調區(qū)間；
（3）根據（2）求出極值以及根據單調性可得函數的最小值．

解答：解（1）f′（x）=（2x+b）e^x+（x²+bx+c）e^x                                     2′
由于函數f（x）在點M（0，f（0））處的切線方程是x+2y+1=0．
故

0+2f(0)+1=0 f′(0)=b+c=- 1 2

解之得b=0，c=-

1

2

∴f（x）=（x²-

1

2

）e^x                                                          5′
（2）f′（x）=（x²+2x-

1

2

）e^x
令f′（x）=0，則x²+2x-

1

2

=0，得x₁=

-2+ 6

2

，x₂=

-2- 6

2

7′

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

9′
故f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，-1-

6

2

]，[-1+

6

2

，+∞），單調減區(qū)間為[-1-

6

2

，-1+

6

2

]10′
（3）由（2）知，當x=-1+

6

2

時，f（x）取極小值，
f（-1+

6

2

）=[（-1+

6

2

）²-

1

2

]e^-1+

6

2

＜0                           12′
又∵當x∈（-∞，-1-

6

2

]，f（x）＞0
故當f（x）取最小值時，x=-1+

6

2

．                                      14′

點評：本題主要考查函數導數的幾何意義和利用導數研究函數的極值和利用導數研究函數的單調性，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．