Question

已知曲線(xiàn)C₁:y=x²與C₂:y=－(x－2)²,直線(xiàn)l與C₁、C₂都相切，求直線(xiàn)l的方程.

Answer 1

y=0或y=4x－4

解析:

利用解方程組求交點(diǎn),利用直線(xiàn)間的位置和待定系數(shù)法求斜率.

設(shè)l與C₁相切于點(diǎn)P(x₁,x₁²),與C₂相切于Q(x₂,－(x₂－2)²)

對(duì)于C₁：y′=2x,則與C₁相切于點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為

y－x₁²=2x₁(x－x₁),即y=2x₁x－x₁²                                                                            ①

對(duì)于C₂：y′=－2(x－2),與C₂相切于點(diǎn)Q的切線(xiàn)方程為y+(x₂－2)²=－2(x₂－2)(x－x₂),即y=－2(x₂－2)x+x₂²－4                                                       ②

∵兩切線(xiàn)重合，∴2x₁=－2(x₂－2)且－x₁²=x₂²－4,解得x₁=0,x₂=2或x₁=2,x₂=0

∴直線(xiàn)l方程為y=0或y=4x－4