Question

在平面直角坐標系xOy中，設二次函數(shù)f（x）=x²+2x+b（x∈R）的圖象與兩個坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C。
 （1）求實數(shù)b的取值范圍；
 （2）求圓C的方程；
 （3）問圓C是否經(jīng)過某定點（其坐標與b無關）？請證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）顯然b≠0
否則，二次函數(shù)f（x）=x²+2x+b的圖象與兩個坐標軸只有兩個交點（0，0），（-2，0），這與題設不符
由b≠0知，二次函數(shù)f（x）=x²+2x+b的圖象與y軸有一個非原點的交點(0，b)，故它與x軸必有兩個交點，從而方程x²+2x+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，因此方程的判別式4-4b>0，即b<1
所以b的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）。
（2）由方程x²+2x+b=0，得
于是，二次函數(shù)f（x）=x²+2x+b的圖象與坐標軸的交點是
設圓C的方程為
因圓C過上述三點，將它們的坐標分別代入圓C的方程，得
解上述方程組，因b≠0，得
所以，圓C的方程為。
（3）圓C過定點，證明如下：
假設圓C過定點（x₀，y₀）（x₀，y₀不依賴于b），將該點的坐標代入圓C的方程，并變形為

為使（*）式對所有滿足b<1（b≠0）的b都成立，必須有1-y₀=0，結(jié)合（*）式得

解得
經(jīng)檢驗知，點（0，1），（-2，1）均在圓C上，因此，圓C過定點。