Question

【題目】設(shè)A是同時符合以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的集合：

①x∈[0，＋∞)，都有f(x)∈(1,4]；②f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù).

(1)判斷函數(shù)f1(x)＝2－和f2(x)＝1＋3· (x≥0)是否屬于集合A，并簡要說明理由；

(2)把(1)中你認(rèn)為是集合A中的一個函數(shù)記為g(x)，若不等式g(x)＋g(x＋2)≤k對任意的x≥0總成立，求實數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由函數(shù)的解析式可得函數(shù)的滿足，則該函數(shù)不在集合A中，考查函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在集合A中；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可得，結(jié)合函數(shù)的解析式可得實數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

(1)f1(x)＝2－不在集合中，f2(x)＝1＋3·x在集合A中，

理由：f1(x)＝2－，∵≥0，

∴2－≤2，

∴f1(x)不在集合A中．

又∵x≥0時，0＜x≤1，

∴1＜1＋3·x≤4，

即f2(x)∈(1,4]，

又函數(shù)y＝x在[0，＋∞)是減函數(shù)，

∴f2(x)＝1＋3·x在[0，＋∞)也是減函數(shù)．

(2)由(1)知g(x)＝1＋3·x，

故F(x)＝g(x)＋g(x＋2)＝1＋3·x＋1＋3·x＋2＝2＋·x.

因為當(dāng)x≥0時，0＜x≤1，

∴2＜2＋·x≤，

∴k≥.

故k的取值范圍為.